证明：对任意 P,Q∈ΛP, Q \in \LambdaP,Q∈Λ，若 P=βQP =_\beta QP=βQ，则存在 n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N 以及 P0,⋯,Pn∈ΛP_0, \cdots, P_n \in \LambdaP0,⋯,Pn∈Λ，满足
(1) P≡P0P \equiv P_0P≡P0
(2) Q≡PnQ \equiv P_nQ≡Pn
(3) 对任何 i<ni<ni<n，Pi→βPi+1P_i \rightarrow_\beta P_{i+1}Pi→βPi+1 或 Pi+1→βPiP_{i+1} \rightarrow_\beta P_iPi+1→βPi
根据 =β=_\beta=β 的定义，我们知道 =β=_\beta=β 是 →β\rightarrow_\beta→β 的等价闭包关系，是 ↠β\twoheadrightarrow_\beta↠β 的对称闭包关系 =β=⋃i=0∞(→β∨β←)i =_\beta = \bigcup\limits_{i=0}^\infty(\rightarrow_\beta \lor _\beta\leftarrow )^i =β=i=0⋃∞(→β∨β←)i 与习题 (3.7) 同理归纳可证。