1.22

设 $p(x)$ 为整系数多项式，令 $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ 定义为 $f(a) = p(x)-a$ 对于 $x$ 的非负整数根，证明：$f \in \mathcal{RF}$。

证明

$f(n) = \mu x. (p(x) = n)$

$\because p(x)$ 为整系数多项式

$\therefore$ 存在正整系数多项式 $s(x)$ 与 $t(x)$ 使 $p(x) = s(x)-t(x)$

从而 $f(n) = \mu x. (s(x) \ddot{-} (n+t(x)))$ 易见，$s(x), t(x) \in \mathcal{PRF}$，故 $f \in \mathcal{RF}$。