1.9

证明： $\min x \leq n. [f(x, \vec{y})] = n \dot{-}\max x \leq n. [f(n \dot{-}x, \vec{y})],$ $\max x \leq n. [f(x, \vec{y})] = n \dot{-}\min x \leq n. [f(n \dot{-}x, \vec{y})].$

证明

• case 1: $f(x)$ 在 $[0, n]$ 中有零点。

  设 $\min{x\leq n.}[f(x)] = k$，故 $f(k) = 0$，从而 $f(n \dot{-}(n\dot{-}k)) = 0$，$n-k$ 为 $g(x) = f(n\dot{-}x)$ 的零点。

  当 $k$ 为 $f(x)$ 的最小零点时，$n \dot{-} k$ 为 $g(x)$ 的最大零点，从而$n \dot{-} k = \max{x \leq n}. [f(n\dot{-}x)]$

  因此，$k = n \dot{-} \max{x\leq n}. [f(n \dot{-}x)]$

• case 2: $f(x)$ 在 $[0, n]$ 中无零点，等式左边$=n$，右边$=n\dot{-}0=n$，相等。

同理，可证 $\max x \leq n. [f(x, \vec{y})] = n \dot{-}\min x \leq n. [f(n \dot{-}x, \vec{y})].$