3.4

设 $F \in \Lambda$ 呈形 $\lambda x. M$，证明：

(1) $\lambda z. Fz =_\beta F$

(2) $\lambda z. yz \neq_\beta y$

证明

(1) $Fz \equiv (\lambda x. M)z =_\beta M[x := z]$

因为 $=_\beta$ 是合拍关系，所以根据 P.75 的公理 ($\alpha$)

$\lambda z.Fz =_\beta \lambda z. M[x:=z] =_\beta \lambda x. M = F$

(2) 利用定理：设$M, N \in \Lambda$，若 $M =_\beta N$，则存在 $T \in \Lambda$ 使得 $M \twoheadrightarrow _\beta T$ 且 $N \twoheadrightarrow _\beta T$

反证，假设 $\lambda z. yz =_\beta y$，那么存在 $T \in \Lambda$，使得 $\lambda z. yz \twoheadrightarrow _\beta T$ 且 $y \twoheadrightarrow _\beta T$，而 $\lambda z.yz$ 和 $y$ 均属于 $NF_R$ ，从而 $\lambda z. yz \equiv y \equiv T$，矛盾！