3.7

证明：对任意 $P, Q \in \Lambda$，若 $P \twoheadrightarrow_\beta Q$，则存在 $n \geq 0$ 以及 $P_0, \cdots, P_n \in \Lambda$，满足

(1) $P \equiv P_0$

(2) $Q \equiv P_n$

(3) 对任何 $i<n$，$P_i \rightarrow_\beta P_{i+1}$

证明

根据 $\twoheadrightarrow_\beta$ 的定义，易见： $\twoheadrightarrow_\beta = \bigcup\limits_{i=0}^\infty(\rightarrow_\beta)^i$ $P \twoheadrightarrow_\beta Q$ 即表明 $\exists n \geq 0$ ，使得 $P (\rightarrow_\beta)^n Q$，对 $n$ 进行结构归纳即可。

从而存在 $P \equiv P_0 \rightarrow_\beta P_1 \rightarrow_\beta \cdots \rightarrow_\beta P_{n-1} \rightarrow_\beta P_n \equiv Q$