3.6

原题：证明对任何 $M, N \in \Lambda^\circ$，方程 $xN = MxN$ 对于 $x$ 有解

另：证明对任何 $M, N \in \Lambda^\circ$，方程 $xN = Mx$ 对于 $x$ 有解

证明

$xN = MxN$ 有解，即证 $x = Mx$ 有解

则 $X=YM$ (不动点定理)

要证 $xN=Mx$，我们知道 $y = M'y$ 是可解的，即寻找 $x$ 使得 $\left\{\begin{array}{rll} y & =_\beta & xN \\ Mx & =_\beta & M'y \end{array}\right.$ 令 $x = \lambda a.T$，其中 $a \notin FV(T)$

则 $xN \equiv (\lambda a. T)N =_\beta T$ （作用：$[\lambda a . (\lambda a. aT')]N =_\beta\lambda N. NT'=_\beta\lambda a. aT' = T$，进行了一次换名）

$Mx = M(\lambda a.T) =_\beta (\lambda b. M(\lambda a.b))T$ （抽象）

记 $M' = \lambda x. M(\lambda y.x)$， $xN = Mx$ 则有 $T=M'T$

从而 $T = YM'$ （不动点定理）